Zénónovy paradoxy

Zénónovy paradoxy jsou problémem, který nezajímá pouze matematiky, jako jsem já, ale také fyziky a filozofy. A tak to je už tisíce let. Zénón byl řecký filozof. Žil před 2 500 lety a sepsal seznam paradoxů. Je jich asi devět. Ty, o kterých chci mluvit jsou si podobné.

Ten první zbožňuju, protože se k němu váže malý příběh. Nazývá se Achilles a želva. Achilles a želva spolu závodí. Želva je samozřejmě pomalejší. Takže jí dá náskok. Stometrový náskok. A pak závod začne. Achilles uběhne 100 m a doběhne na místo, kde želva stála, ale ta se už tou dobou posunula.

Posunula se o 10 metrů. Takže Achilles musí želvu zase doběhnout. Uběhne tedy 10 metrů. A doběhne tam, kde želva stála, aleto už je želva zase o metr dál. Achilles opět musí želvu doběhnout. A to se bude pořád opakovat. Takže paradoxem je, jestli Achilles někdy želvu dohoní. Je to bláznivé.

Očividně ji musí dostihnout. Žijeme v reálném světě. Musí želvu dostihnout. Další z těchto paradoxů je v podstatě stejný, ale je jednodušší. Držím takhle ruce. Svoji levou ruku nechám na místě. Pravou rukou pohnu k levé a tlesknu. Když to uděláte, můžete to brát tak, že půlím vzdálenost a pak znovu půlím, znovu půlím a znovu a znovu a znovu.

Budu nekonečně krát půlit vzdálenost. Znamená to, že moje ruce nikdy netlesknou? Je tu nějaké silové pole, které brání, aby se ruce setkaly? Očividně tlesknou. To je paradox. Tak o co tu jde? Jak může nekonečný proces skončit? Co se tu děje? To je část Zénónových paradoxů. Chci vám to ukázat z matematického pohledu.

Protože někdo řekl, že to vyřešili matematici. Řekněme, že začnu s rukama ve vzdálenosti 2 metrů. A budu je přibližovat. Jsou od sebe 2 metry a já urazím poloviční vzdálenost. Urazil jsem metr. Pak urazím opět polovinu a zmenším vzdálenost o půl metru. Uděláte to znovu, znovu půlíte vzdálenost. Takže vaše ruce urazily čtvrt metru.

Pak je to osmina, šestnáctina, jedna lomeno třiceti dvěma... A tak to půjde do nekonečna. Budete půlit vzdálenosti do nekonečna. Řekněme, že je to proměnná. Označme to jako proměnnou. Označme ji S, jako součet. Můžete s tím udělat malý trik. Nejdříve to vynásobím jednou polovinou. Celé to vynásobím jednou polovinou. Když vynásobím levou stranu polovinou, tak získám polovinu S.

Na pravé straně vynásobím polovinou všechny členy. Jedna krát polovina je polovina. Napíšu to sem, nechám tu mezeru. Teď vynásobím polovinu polovinou a dostanu čtvrtinu. Udělám to pro každý člen, takže čtvrtina krát polovina je osmina. A osmina krát polovina je šestnáctina. A teď tyto dvě rovnice od sebe odečtu. Nalevo tedy S mínus polovina S dá polovinu S.

Napravo odečtu tyhle dva řádky. Mám tu jedničku, pak tu mám plus polovinu a mínus polovinu. Plus čtvrtina a mínus čtvrtina. Plus osmina a mínus osmina. Všechny členy se vyruší. Takže vám zbyde jen jednička. A jelikož se vše vyruší, můžete zjistit S. S se rovná 2. Takže to budou dva metry.

Takže vaše ruce urazí dva metry. I když je to nekonečný proces, tak vaše ruce urazí dva metry. Čas je taky důležitý. Kdyby každý krok zabral vteřinu, tak to bude to nekonečný počet vteřin. Bylo by to delší než vteřina. Takže by jste své dva metry urazili, ale trvalo by to nekonečně dlouho. Čas je taky důležitý. Řekněme, že je to rychlejší.

Řekněme, že se pohybují rychlostí metr za vteřinu. Takže se pohybují 1 metr za vteřinu a to je vlastně to samé. Rozpůlení vzdálenosti zabere vteřinu. Další rozpůlení vzdálenosti mi zabere půl vteřiny. A pak čtvrtinu vteřiny. Takže překonám dva metry za dvě vteřiny. A moje ruce tlesknou. Takový nekonečný součet je "rozumný".

Když budete sčítat a postupně přidávat členy, tak získáte mnoho různých součtů, které se budou přibližovat vaší odpovědi. Pokud to tak je. Pokud se vaše mezivýsledky stále více přibližují k určité hodnotě, říkáme, že je to rozumný součet. A v nekonečnu je tomu přesně rovný. Není to tak, že by se k hodnotě blížil a nikdy jí nedosáhl. Je to přesně ten výsledek.

Vypadá to, jako bych tvrdil, že můžete dokončit nekonečný proces. Nekonečný proces nemá poslední krok. Ale může být něco dokončeno bez posledního kroku? A to je paradox. Má to nějaké řešení? Na to nemám žádnou snadnou odpověď. Je to paradox, který mátl filozofy a matematiky po 2 500 let. Já jsem s tím taky zápasil.

A za posledních 2 500 let s tím zápasily větší mozky, než vy a já. Takže pokud se vám z toho roztaví mozkové závity, tak se nebojte, jste v dobré společnosti. Některá čísla, která pokračují do nekonečna, jako třeba pí nebo odmocnina ze dvou... Jak do toho zapadají? Když něco jde do nekonečna... Je to jako se ptát, jestli dokážu nakreslit něco, co má nekonečný počet desetinných míst.

Je to stejný druh problému. Ale i když je to také nekonečný proces, tak může být dokončen. Já vím, že je to bizarní, ale podívejte se. Nakreslím trojúhelník. Tahle strana je dlouhá jedničku, tahle také, pravý úhel... A tahle má délku odmocninu ze dvou. A není důvod, proč bych to nenakreslil, i když odmocnina ze dvou je iracionální, což znamená, že desetinných čísel je nekonečně mnoho.

I když to tak je, nic mi nebrání, abych to nakreslil. Stejně tak mi nic nebrání v tom, abych tleskl. Můžete to brát jako nekonečný proces. Vzdálenost zmenšuji nekonečně krát, ale přesto tlesknu. Matematici v 19.

století se snažili přijít na to kdy se tato nekonečné součty chovají rozumně a kdy nerozumě. A je kolem toho hodně technických detailů. Ukázalo se to být důsledným a konzistentním, což je důležité, ale některé testy, které můžete použít k dokázání, že je součet rozumný, jsou docela snadné. Jeden vám ukážu. Když vezmete jeden z členů...

Budu mu říkat a. Vezmu si jeden člen. N-tý člen, a s indexem n. Vydělím ho předchozím členem. Je to záporné, tak to udělám kladné. Když si vezmete tato čísla... Když se tato čísla blíží k určité hodnotě, říkejme jí r...

Jak se tato n se zvětšují. Když se tato čísla blíží k určité hodnotě a když je tento podíl menší než 1, tak je to rozumná funkce. Takže toto bylo rozumné. Proč je to rozumné? Protože když vezmete jeden člen a vydělíte ho předchozím, tak dostanete polovinu.

Jedna děleno polovinou je polovina. Čtvrtina dělená polovinou je polovina. Všechno jsou to poloviny. Máte společný faktor a to polovinu. Společný poměr pro všechny členy je polovina. Prošlo to testem. Podrobili jsme to testu. a prošlo to, je to tedy rozumné.

Kdyby to bylo větší než 1, pak by to nebylo rozumné. Což může znamenat... že to pokračuje do nekonečna, nebo to může být periodické nebo nějaký jiný zvláštní případ. Není to rozumné. A v případě, že by to bylo rovno jedné, tak to nemůžeme rozhodnout. Může to to být obojí. Může to být rozumné i nerozumné. Záleží na okolnostech.

Při r=1 si nejsme jistí. A co řady, kde je r větší než jedna? Můžeš mi ukázat nějakou nerozumnou řadu? Kdyby to bylo větší než 1, tak se členy budou pořád a pořád zvětšovat. Možná ani nebudou mít stejný poměr, ale... už dříve jsme mluvili o Fibonacciho posloupnosti. Pokud něco takového máme... 1,1,2,3,...

Když je vydělíte, tak nemají společný poměr. Poměr se blíží k hodnotě 1,618, čili ke zlatému řezu. 1,618 bude větší než 1 a bude to nerozumné. A když je sečtete, tak získáte číslo, které v tomto případě blíží nekonečnu. Bude se to nazývat divergentní. Tenhle náš příklad je rozumný a říká se mu konvergentní. Má otázka na fyziky je následující: Když budeme doslovní a zohledníme reálný svět, a když budeme vzdálenost opakovaně půlit znovu a znovu nekonečně krát.

Nebo budeme budeme půlit čas potřebný k dokončení kroku nekonečně krát, takže to bude pořád rychlejší... Půjde to? Můžete dělit čas a prostor nekonečně krát? Já to nevím, tak chci, aby mi to řekli fyzici. Jsme trochu v oblasti počtu se kterým se někteří mohli setkat už na střední škole.

Počet pomáhá definovat prostor přidáváním opravdu úzkých proužků k sobě. Je to ve stejném prostoru. Newton a Liebnitz se snažili přidávat plochu pomocí velmi tenkých proužků. Nejsou nulové, ale blíží se tomu. A tahle myšlenka byla později nahrazena tím, co jsme tu právě udělali.

Myšlenkou z 19. století zvanou limity. Trvalo to tedy dlouho, než se to povedlo vyřešit.