Banachův-Tarského paradoxVsauce

Ahoj, tady Michael z Vsauce. Viděl jsem způsob, jak zdánlivě vytvořit čokoládu z ničeho. Možná jste to už viděli. Tahle tabulka čokolády má 4×8 čtverečků. Když ji ale rozříznete tímto způsobem, můžete vzniklé kousky takhle uspořádat a dostanete tu stejnou tabulku 4×8 čtverečků s jedním kouskem navíc, který zdánlivě nikde nechybí.

Někdo z této iluze dokonce vytvořil animaci. Říkám iluze, protože je to jen podvod. Ve skutečnosti je tabulka sestavená z nařezaných kousků o něco menší. Je v ní o tolik čokolády méně. Všechny čtverečky, kterými probíhá řez, jsou o něco menší. Kvůli tomu řezu to ale není na první pohled vidět. Tato animace je ještě více zavádějící, protože se tenhle klam snaží zamaskovat.

Každý zkrácený čtvereček je totiž nepozorovaně prodloužen, když se kousky přesunují, aby bylo složitější si toho všimnout. No tak, přeci nemůžete nařezat tabulku čokolády a uspořádat ji tak, aby vám zůstalo víc čokolády než na začátku. Nebo snad ano? Jednou z nejpodivnějších vět v moderní matematice je Banachův-Tarského paradox.

Dokazuje, že existuje způsob, jak daný předmět rozdělit na pět různých kousků... ...a pak těchto pět kousků jednoduše poskládat bez jakéhokoliv roztahování, do dvou přesných kopií původního předmětu se stejnou hustotou, stejnými rozměry a vším ostatním. Opravdu. Než si o tom povíme něco víc a zjistíme, jaké otázky to přináší do matematiky i skutečného světa, musíme začít tím, že si položíme několik otázek.

Za prvé: Co je nekonečno? Číslo? Nenajdeme ho totiž nikde na číselné ose. Často ale říkáme například: "Máme nekonečný počet něčeho..." Nekonečno by podle současných znalostí skutečně mohlo existovat.

Vesmír je možná nekonečně veliký. Neustále se rozpíná do nekonečna. Až za hranici, za kterou nejsme schopni dohlédnout. A přesně tohle je nekonečno. Není to žádné konkrétní číslo, je to spíše velikost. Velikost něčeho, co nekončí. Nekonečno není největší číslo. Je to počet všech možných čísel.

Nekonečno ale může mít různou velikost. Nejmenším typem nekonečna je spočetné nekonečno. Například kolik hodin trvá věčnost. Je to také počet všech celých čísel, přirozených čísel, čísel, která používáme při počítání, jako je jedna, dvě, tři, čtyři, pět, šest a tak dále. Tyto počty nikde nekončí, jsou ale spočetné.

To znamená, že je můžete počítat. Dostanete se od jedné položky k další v konečném časovém úseku. I kdyby tento časový úsek trval déle než váš život, nebo i déle než trvá existence vesmíru. Jen když je tato doba konečná. Nespočetné nekonečno je ale větší. Tak velké, že se nedá ani počítat. Například počet všech reálných čísel, nejen celých čísel, ale všech čísel, je nespočetně nekonečný.

Nedokážete napočítat ani od nuly do jedné za konečný časový úsek, pokud máte vyjmenovat všechna čísla, která se mezi nimi nachází. Kde byste vůbec začali? Nulou. Dobře, ale co pak?

0,00000000... Nakonec bychom napsali jedničku někam na konec. Žádný konec ale není. Vždycky můžeme přidat ještě jednu nulu. Tato nespočetnost dělá tuto množinu mnohem větší, než je nekonečno celých čísel. I mezi nulou a jedničkou je víc čísel, než je všech celých čísel na celé nekonečné číselné ose.

Známý argument s úhlopříčkami Georga Cantora to pomáhá objasnit. Představte si, že vypíšete všechna reálná čísla mezi nulou a jedničkou. Protože nejsou spočetná a nelze je zapsat ve správném pořadí, budeme je náhodně generovat do nekonečna bez opakování stejných čísel. Každé takto vygenerované číslo může být označeno jedním přirozeným číslem. Pokud k sobě přiřadíme všechny dvojice, každé možné přirozené číslo patří k jednomu vygenerovanému, pak by to znamenalo, že spočetné a nespočetné množiny jsou stejně velké.

Ale tak to nejde. I když tenhle seznam bude pokračovat do nekonečna, nekonečno nebude stačit. Sledujte tohle. Když půjdeme šikmo dolů naším seznamem reálných čísel a zapíšeme si první číslici prvního čísla, druhou číslici druhého čísla, třetí číslici třetího a tak dále a každou tuto číslici zvětšíme o jedna, pokud je to devítka, tak jedničku odečteme, Vytvoříme tak nové reálné číslo, které je mezi nulou a jedničkou, ale jelikož se liší alespoň v jednom řádu ode všech čísel na nekonečném seznamu, nemůže být součástí tohoto seznamu.

Jinými slovy, využili jsme všechna přirozená čísla, kterých je nekonečno, a přesto můžeme najít ještě další reálná čísla.

Ještě je tu něco pravdivého, ale těžko představitelného. Samotná množina všech sudých čísel je stejně velká jako množiny sudých i lichých čísel dohromady. Na první pohled je to směšné. Je přece zřejmé, že sudých čísel je o polovinu méně než všech přirozených čísel. Vaše intuice je ale špatná. Množina přirozených čísel se zdá nahuštěnější, ale každé sudé číslo lze přiřadit k jednomu přirozenému.

Čísla z obou množin vám nikdy nedojdou, takže toto přiřazení dokazuje, že obě množiny jsou stejně velké. Jinak řečeno: Nekonečno děleno dvěma je stále nekonečno. Nekonečno plus jedna je také nekonečno. Můžeme si to ukázat na Hilbertově paradoxu grandhotelu. Představte si hotel s spočetně nekonečným množstvím pokojů.

Teď si představte, že každý z těchto pokojů je již obsazený. Vypadá to, že hotel je úplně plný, že ano? Ne. Na nekonečné množiny selský rozum neplatí. Když se totiž objeví nový host a chce se ubytovat, vyřeší se to tak, že host z pokoje číslo jedna se přesune do pokoje číslo dvě. Host z pokoje dvě do pokoje tři a host ze trojky do čtyřky a tak dále. Protože je počet pokojů nekonečný, nikdy nám nemůžou pokoje dojít.

Nekonečno mínus jedna je opět nekonečno. Když jeden host opustí hotel, můžeme ostatní hosty posunout naopak. Host ze dvojky jde na jedničku, ze trojky na dvojku, ze čtyřky na trojku a tak dále. Protože máme nekonečné množství hostů, neomezený přísun, žádný pokoj nezůstane prázdný.

Jak se ukazuje, můžete od nekonečna odečíst jakkoli velké konečné číslo a pořád vám zůstane nekonečno. Vůbec se nemění. Je nekonečné. Na Banacha-Tarského jsem nezapomněl. Všechno to s tím souvisí. Můžeme se teď zaměřit na tvary.

Hilbertův hotel můžeme aplikovat na kružnici. Body ležící na této kružnici můžeme přirovnat k hostům. Když z kružnice jeden bod odstraníme, tak tam ten bod bude chybět, že ano? Nekonečno nám říká, že na tom nezáleží. Obvod kruhu je iracionální. Můžeme ho spočítat jako poloměr krát 2 pí. Když si od místa odstraněného bodu označíme několik bodů ve vzdálenosti poloměru kružnice po obvodu ve směru hodinových ručiček, nikdy se nedostaneme do stejného bodu dvakrát.

Nikdy. Každý bod, který si odměříme označíme přirozeným číslem. Tahle řada je tedy nekonečná, spočetně nekonečná. Stejně jako hosté v pokojích Hilbertova hotelu. A stejně jako tito hosté i když jeden zmizí, můžeme všechny ostatní jednoduše posunout.

Posuneme je proti směru hodinových ručiček a každý bod bude opět zaplněný. Bod jedna zaplní díru, bod dva bude tam, kde býval bod jedna, trojka nahradí dvojku a tak dále. Jelikož máme nekonečný přísun bodů, Žádná díra nezůstane nevyplněná.

Chybějící bod je zapomenut. Nikdy jsme ho nepotřebovali, abychom měli celou kružnici. Ještě je tu jeden důsledek nekonečnosti, o kterém bychom si měli říct, než se konečně vrhneme na Banacha-Tarského. Ian Steward navrhnul úžasný slovník. Pojmenoval ho Hyperwebster. Hyperwebster obsahuje všechna možná slova jakkoli dlouhá, tvořená 26 písmeny anglické abecedy.

Začíná slovem A. Následuje AA, pak AAA a AAAA a po nekonečně dlouhé řadě konečně přijde AB. Pak ABA, ABAA, ABAAA a tak dále až do Z, ZA, ZAA. Tak to pokračuje dál a dál, dokud to neskončí na nekonečné řadě písmen Z.

Takový slovník by obsahoval všechna existující slova, každou myšlenku, definici, popis, pravdu, lež, všechna jména a příběhy. Dalo by se v tom slovníku najít, co se stalo Amélii Earhart. A také by tam bylo všechno, co se Amélii Earhart nestalo. Obsahoval by všechno, co může být vyjádřeno naší abecedou. Takový slovník by byl obrovský. Vydavatelství, které by ho vydávalo, by si ale mohlo uvědomit, že můžou ušetřit. Kdyby dali všechna slova začínající na A do samostatného dílu, označeného A.

Nemuseli by první písmeno tisknout. Čtenáři by věděli, že si ho mají domyslet, protože mají v ruce díl A. Když odstraníme první písmeno, zůstanou nám všechna slova na A bez prvního A, což jsou překvapivě všechna možná slova. Celých 26 dílů bylo zkráceno na jediný díl, aniž by se vytratilo jediné slovo. Teď už můžeme začít mluvit o paradoxu, po kterém jsem toto video pojmenoval. Co kdybychom z trojrozměrného tělesa udělali takový Hyperwebster.

Mohli bychom z části tělesa dovytvořit celé těleso? Ano. Nejprve musíme dát každému bodu na povrchu koule právě jedno jméno. Lze to provést tak, že je pojmenujeme podle toho, jak se k nim dostaneme z počátečního bodu. Pokud posuneme tento počáteční bod po povrchu v jednotlivých krocích, které mají přesně danou délku, nezáleží kolikrát a ve kterém směru se budeme otáčet, pokud se nebudeme vracet, nikdy se nedostaneme do stejného místa dvakrát.

Aby se objevil paradox, stačí se otáčet do čtyř různých směrů. Nahoru, dolů, vlevo a vpravo podle dvou kolmých os. Můžeme sestavit všechny možné postupy jakkoliv konečně dlouhé jen z těchto čtyř rotací. To znamená, že potřebujeme vlevo, vpravo, nahoru a dolů, a také vlevo-vlevo, vlevo-nahoru, vlevo-dolu, ale ne vlevo-vpravo, protože bychom se tím vraceli zpět.

Když půjdete vlevo a pak hned vpravo, budete tam, kde jste byli předtím. Žádné vlevo-vpravo, vpravo-vlevo a žádné nahoru-dolu a dolu-nahoru. Všimněte si také, že postup rotací zapisuji ve směru zprava doleva, takže poslední rotace je označená písmenem nejvíce vlevo. To bude později důležité. Seznam všech možných posloupností všech povolených rotací konečné délky bude obrovský.

Přesněji řečeno spočetně nekonečný. Když ale použijeme všechny od počátečního bodu, vyznačeného zeleně, a pak pojmenujeme bod, na kterém skončíme po posloupnosti, která nás na něj přivedla, můžeme pojmenovat spočetně nekonečný počet bodů na povrchu této koule. Podívejme se například, jak by fungovaly tyto čtyři posloupnosti na seznamu. Vpravo-nahoru-vlevo. Tyto rotace nás z počátečního bodu dovedou sem.

Pojďme si označit každý bod různou barvou podle poslední rotace. V tomto případě byla poslední vlevo, tak použijeme fialovou. Dál tu máme dolů-dolů. Podle této posloupnosti se dostaneme sem. Tento bod pojmenujeme DD a označíme ho modře, protože poslední rotace byla směrem dolů. RDR bude jméno tohoto bodu, na který jsme se dostali.

Pro poslední rotaci směrem vpravo použijeme červenou. Nakonec posloupnost zakončená směrem nahoru bude mít bod oranžové barvy. Když si představíte, že tento postup uděláme s každou možnou posloupností, budeme mít spočetně nekonečný počet pojmenovaných a barevně označených bodů. To je sice skvělé, ale nám to ještě nestačí. Na povrchu koule je totiž nespočetně nekonečné množství bodů. Nepropadejte panice, vybereme bod, který ještě nemáme, jakýkoliv bod a označíme ho zeleně, čímž z něj uděláme nový počáteční bod.

Pak znovu projedeme všechny posloupnosti od tohoto nového bodu. Až toto uděláme u nespočetně nekonečného množství počátečních bodů, budeme mít konečně pojmenovaný a barevně vyznačený každý bod na povrchu naší koule právě jednou. Kromě pólů. Každá posloupnost má dva póly rotace.

Body na povrchu, které se vrací přesně tam, kde začaly. Pro jakoukoliv posloupnost rotací vpravo nebo vlevo, jsou těmito póly severní a jižní pól. Problém s těmito póly je ten, že k nim může vést více než jedna posloupnost. Můžou být pojmenovány víckrát než jednou. Můžou být označeny více než jednou barvou. Když vás například dovede na severní nebo jižní pól nějaká posloupnost, každá další rotace vpravo nebo vlevo bude označovat tento bod různými jmény.

Abychom to vyřešili, vyřadíme je z našeho seznamu a označíme je všechny žlutě. Každá posloupnost má dva, takže jich je spočetně nekonečné množství. Když má teď každý bod na povrchu právě jedno jméno a barvu, můžeme si tuto kouli konečně rozebrat. Každý bod na povrchu odpovídá všem bodům pod ním až do středu koule a budeme každou tuto úsečku přemisťovat s jejím odpovídajícím bodem.

Bod přímo uprostřed koule si zatím odložíme mimo. Nejdříve oddělíme všechny žluté póly, zelené počáteční body, oranžové "nahoru" body, modré "dolů" body a červené a fialové "vlevo" a "vpravo" body. To je celá naše koule.

Opětovným spojením těchto částí ji můžete znovu poskládat. Podívejte se ale na "vlevo" část. Je tvořena každým bodem, který byl na posloupnostech zakončených rotací vlevo. Když tuto část otočíme jednou vpravo, je to jako bychom přidali "vpravo" ke jménu každého bodu. Jenže vlevo-vpravo nás vrátí zpátky. Vzájemně se vyruší.

Podívejte se, co se stane, když je tedy odstraníme. Tato množina se stane množinou, která končí "vlevo", ale také "nahoru", "dolů" a každým bodem dosažitelným bez jakékoliv rotace. To je celá množina počátečních bodů. Udělali jsme necelé tři čtvrtiny koule z kousku menšího než čtvrtina pouhou rotací. Nic jsme nepřidali. Je to jako Hyperwebster.

Když přidáme ještě část "vpravo", část s póly rotací a středový bod, dostaneme znovu celou kouli. Ale ještě nám toho spoustu zbylo. Abychom si vyrobili druhou kouli, otočíme část "nahoru" směrem dolů. Nahoru-dolů se vyruší, protože to nikam nevede, a zůstane nám množina všech počátečních bodů, bodů "nahoru", "vpravo" a "vlevo". Máme ale menší problém.

My ty počáteční body vůbec nepotřebujeme. Stále jsme totiž nepoužili ty původní. Nebojte, začneme znovu. Můžeme dát stranou všechno z části "nahoru" co se mění na počáteční body při rotaci dolů. To znamená každý bod, který končil rotací nahoru. Přesuňme je do části "dolů". Po rotaci všechny body pojmenované "nahoru-nahoru" se změní na body "nahoru".

To nám dá jednu kopii v obou částech. Musíme tedy přesunout všechny body, jejichž název je jen posloupnost rotací nahoru. Přemístíme je do části "dolů" a otočíme část "nahoru" směrem dolů, což ji učiní shodnou s částmi "nahoru", "vpravo" a "vlevo". Přidáme část "dolů" s přidanými body zakončenými "nahoru", část počátečních bodů a máme skoro hotovo. V této kopii chybí póly a středový bod. To ale není problém.

Je tam spočetně nekonečný počet děr, kde měly být póly rotací, což znamená, že existuje osa, kolem které můžeme kouli otočit, aby se každá díra otočila, aniž by zapadla do jiné díry. A to je přeci jen mnoho kružnic, ve kterých chybí jeden bod. Zaplníme je tak, jak jsme si dříve ukazovali. To stejné uděláme se středovým bodem. Představte si kružnici uvnitř koule, na které tento bod leží a doplňte ho z nekonečna.

Podívejte, co jsme dokázali. Vzali jsme si jednu kouli a udělali z ní dvě stejné koule, aniž bychom cokoliv přidali. Jedna plus jedna se rovná jedna. To nám trochu trvalo, ale má to spoustu využití a matematikové, vědci a filosofové o nich stále diskutují.

Mohlo by se něco takového stát ve skutečném světě? Matematicky to možné je a matematika nám umožňuje předpovídat a popisovat spoustu skutečných jevů s úžasnou přesností. Ale není Banachův-Tarského paradox už trochu moc? Není to místo, kde se matematika a fyzika oddělují? To zatím nevíme. Dějiny jsou plné abstraktních matematických představ, o kterých jsme si mysleli, že nebudou mít uplatnění ve skutečnosti.

Trvalo nám roky, desetiletí, staletí, než věda dospěla a uvědomila si, že jsou velmi užitečné. Banachův-Tarského paradox se ve skutečnosti opravdu může dít. Jediným problémem je, že těch pět částí, na které se předmět rozdělí, nejsou jednoduché tvary. Musí být nekonečně složité a detailní. To ve skutečnosti není možné.

Vzdálenosti se nemůžou zmenšovat do nekonečna. Navíc je omezený i čas něco takového provést. Matematika ale říká, že to teoreticky platí, a někteří vědci si myslí, že to možná platí i ve fyzice. Objevilo se několik prací, které naznačují souvislost mezi Banachem-Tarským a způsobem, jakým se malé subatomární částice můžou srážet při vysokých rychlostech a tvořit více částic, než bylo na začátku.

My jsme konečná stvoření. Naše životy jsou krátké a můžou vědecky popsat jen malou část reality. Co nám připadá běžné, je jen zlomek toho všeho, co existuje. Vidíme jen malou část elektromagnetického spektra, můžeme se dostat jen malý kousek do vesmíru. Selský rozum se vztahuje jen na to, co je pro nás dostupné. Tento prostý rozum je ale prostě jen prostý.

Jestli chceme mít kompletní vědění, nemůžeme nekonečno považovat za něco podivného. Výsledky, ke kterým dojdeme, když si to připustíme, mají smysl. Jsou pravdivé v systému, který používáme k porozumění, měření a předpovědi vesmíru. Možná je třeba tento systém zdokonalit. Historie nám ale ukazuje, že vesmír tak divný není. Divní jsme jen my. A jako vždycky...

Díky za sledování. V popisu najdete spoustu odkazů, ze kterých se můžete dozvědět ještě víc. Taky je tam spousta knih, které mi pomohly pochopit Banacha-Tarského. Především "The Pea and the Sun" od Leonarda Wapnera. Je to skvělá kniha plná kroků, díky kterým pochopíte pozdější důkazy. Také tam píše o důsledcích, které může Banach-Tarski mít pro matematiku.

Jestli si chcete přečíst něco o matematice, byla-li objevena, nebo vynalezena. Jestli nám opravdu pomůže pochopit vesmír, Yanofského kniha "The outer limits of reason" je vážně skvělá. Je to nejlepší kniha, kterou jsem tento rok četl. Další dobrá je od E. Briana Daviese. "Why Beliefs Mater" To je oblíbená kniha Corn, jak asi můžete vidět.

Chutná skvěle a je plná zajímavých informací o hranicích našeho poznání, o tom, co je to věda a co matematika. Jesli máte rádi nekonečno a matematiku, musím vám doporučit knihu M. Parkera "Things to make and do in the fourth dimension" Vysvětluje ti spoustu úžasných věcí.

Tak můžete začít číst. Jestli byste si radši pustili nějaké video, doufám, že jste už viděli film Kevina Liebera na kanálu Field day. Já tam má svůj dokument o Whittieru na Aljašce, Kevin udělal krátký film o nahrávání věcí na internet a reakcích ostatních lidí. Povídá se, že Jake Roper bude taky brzy něco natáčet. Pusťte si můj film, pusťte si i Kevinův a odebírejte Field day, abyste nepropásli Jakeův film.

Je tady teď se mnou. - Pozdrav, Jakeu! - Ahoj. Díky, že to natáčíš. Vážně si vás cením. A jako vždycky... Díky za sledování. Překlad: Zarwan www.videacesky.cz